Rates of convergence for nonparametric deconvolution

This Note presents original rates of convergence for the deconvolution problem. We assume that both the estimated density and noise density are supersmooth and we compute the risk for two kinds of estimators. Résumé Vitesses de convergence en déconvolution nonparamétrique. Cette Note présente des vitesses de convergence originales pour le problème de déconvolution. On suppose que la densité estimée ainsi que la densité du bruit sont (( supersmooth )) et on calcule le risque pour deux types d’estimateurs. Version française abrégée On considère le problème de déconvolution suivant : Yi = Xi + εi i = 1, . . . , n où les Xi sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de densité inconnue g et les variables aléatoires εi sont i.i.d de densité connue fε. Les suites (Xi) et (εi) sont de plus supposées indépendantes. L’objectif est d’estimer g à partir des données Y1, . . . , Yn. Le cadre d’hypothèses est le suivant. Notons, pour toute fonction u, u la transformée de Fourier de u : u(x) = ∫ eu(t)dt. On suppose que le bruit est tel que pour tout x de R, f ε (x) 6= 0 et qu’il satisfait l’hypothèse suivante : N1. Il existe s ≥ 0, b ≥ 0, γ ∈ R (γ > 0 si s = 0) et k0, k1 > 0 tels que k0(x 2 + 1) exp(−b|x|) ≤ |f ε (x)| ≤ k1(x + 1) exp(−b|x|) Email address: [email protected] (Claire LACOUR). Preprint submitted to Elsevier Science 2 février 2008 On suppose de plus que g appartient à l’espace Aδ,r,a(L) = {g densité sur R et ∫ |g(x)|(x + 1) exp(2a|x|) ≤ L} avec r ≥ 0, a ≥ 0, δ ∈ R (δ > 1/2 si r = 0), L > 0. Lorsque r est strictement positif, la fonction est dite superrégulière et ordinairement régulière sinon, la terminologie étant la même pour le bruit. Ce problème a été largement étudié pour une fonction g appartenant à un espace de Sobolev ou de Hölder (i.e. r = 0) : on peut citer entre autres [3], [5], [6,7], [8], [10]. Les vitesse de convergences médiocres (en puissances de lnn) obtenues lorsque le bruit est superrégulier (et en particulier pour les distributions gaussiennes) ont conduit à considérer des fonctions g également superrégulières. En premier [9] et plus récemment [1], [2] et [4] ont étudié des estimateurs dans ce contexte. Dans cette Note, nous fournissons des vitesses de convergence exactes et explicites, même dans le cas r > 0, s > 0 pour lequel jusqu’à maintenant les vitesses n’étaient données que de façon implicite, excepté dans des cas très particuliers. Ces vitesses sont calculées pour deux types d’estimateurs. L’estimateur à noyau classique est le suivant : ĝn(x) = 1 nh n